একই ঘনত্বের দুটি কঠিন গোলকের একটির ব্যাসার্ধ অপরটির দ্বিগুণ হলে, কেন্দ্রগামী অক্ষ বরাবর ঘূর্ণনে তাদের জড়তার ভ্রামকের অনুপাত কত?

      আমরা তৃতীয় অধ্যায়ে জড়তা নিয়ে আলোচনা করেছি। আমরা জানি, কোনো বস্তুর গতির তথা বেগের পরিবর্তনকে বাধা দেওয়ার প্রয়াসই হচ্ছে জড়তা। জড়তার পরিমাপ হচ্ছে ভর। কোনো একটি অক্ষের সাপেক্ষে ঘূর্ণনরত একটি বন্ধুর ঘূর্ণন গতির পরিবর্তনকে বাধা দেওয়ার প্রয়াস হচ্ছে জড়তার ভ্রামক। জড়তার ভ্রামক ঘূর্ণন অক্ষ থেকে ভরের বণ্টন ও দূরত্বের উপর নির্ভর করে।

     ধরা যাক, M ভরের একটি দৃঢ় বস্তু AB অক্ষের চারদিকে সমকৌণিক বেগে ঘুরছে। এই ঘূর্ণন গতির জন্য বস্তুটি যে গতিশক্তি লাভ করে, তাকে ঘূর্ণন গতিশক্তি বলে। ধরা যাক, M ভরের বস্তুটি m₁,  m₂, m₃ইত্যাদি ভরের অসংখ্য বস্তুকণার সমষ্টি এবং AB অক্ষ থেকে এদের লম্ব দূরত্ব যথা, r₁, r₂, r₃ ইত্যাদি (চিত্র : ৪.৮ )। কোনো অক্ষ বা কোনো সরলরেখা থেকে কোনো বিন্দু বা কণার দূরত্ব বলতে ন্যূনতম দূরত্ব তথ্য সম দূরত্বকে বোঝায়। যেহেতু কণাগুে বস্তুর সাথে দৃঢ়ভাবে আবদ্ধ তাই প্রত্যেকের কৌণিক বেগ $\omega$  হবে। ঘূর্ণন অক্ষ থেকে এদের দূরত্ব সমান নয় বলে এদের রৈখিক বেগ সমান হবে না।

এখন, m₁  বস্তুকণার রৈখিক বেগ, v₁= $\omega r_1$

অতএব, এর গতিশক্তি $E_1=\frac{1}{2}{m}_1{v}_1^2=\frac{1}{2}{m}_1{\omega }^2{r}_1^2$

আবার, m₂ বস্তুকণার রৈখিক বেগ ${\mathrm{v}}_2=\mathrm{\omega } {\mathrm{r}}_2$

সুতরাং এর গতিশক্তি $E_2=\frac{1}{2}{m}_2{v}_2^2=\frac{1}{2}{m}_2{\omega }^2{r}_2^2$

এভাবে আমরা প্রত্যেকটি বস্তুকণার গতিশক্তি নির্ণয় করতে পারি। এখন সমগ্র বস্তুটির গতিশক্তি হবে সকল বস্তুকণার গতিশক্তির সমষ্টির সমান।

অতএব, সমগ্র বস্তুর গতিশক্তি,

এই I ই হচ্ছে জড়তার ভ্রামক।

     সংজ্ঞা : কোনো নির্দিষ্ট সরলরেখা থেকে কোনো দৃঢ় বস্তুর প্রত্যেকটি কণার লম্ব দূরত্বের বর্গ এবং এদের প্রত্যেকের ভরের গুণফলের সমষ্টিকে ঐ সরলরেখার সাপেক্ষে ঐ বস্তুর জড়তার ভ্রামক বলে । 

কিন্তু কোনো বস্তুর ভর নিরবচ্ছিন্নভাবে সমগ্র বস্তুর মধ্যে বণ্টিত থাকে। সুতরাং ঘূর্ণন অক্ষ থেকে r দূরত্বে ক্ষুদ্রাতিক্ষুদ্র ভর d_m হলে নিরবচ্ছিন্ন বস্তুর ক্ষেত্রে (4.17) সমীকরণ দাঁড়ায়,  

 $I=\int r^{2}dm$

     জড়তার ভ্রামকের মাত্রা হচ্ছে ভর × (দূরত্ব)^২ এর মাত্রা। অর্থাৎ ML² এবং একক হচ্ছে kg m²

    কোনো অক্ষের সাপেক্ষে কোনো বস্তুর জড়তার ভ্রামক 50 kg m² বলতে বোঝায় ঐ বস্তুর প্রত্যেকটি কণার ভর এবং ঐ অক্ষ থেকে তাদের প্রত্যেকের লম্ব দূরত্বের বর্গের নফলের সমষ্টি 50 kg m² 

আবার (4.16) সমীকরণ থেকে আমরা পাই,

$\omega$ = 1 একক হলে I = 2E

      অর্থাৎ কোনো নির্দিষ্ট অক্ষ বরাবর একক সমকৌণিক বেগে আবর্তনরত কোনো দৃঢ় বস্তুর জড়তার ভ্রামক সংখ্যাগতভাবে এর গতিশক্তির দ্বিগুণ।

    m ভরের কোনো বস্তু যদি অনুভূমিকভাবে গড়াতে থাকে তার মোট গতিশক্তি $K=\frac{1}{2}m{v}^2+\frac{1}{2}I{\omega }^2$

    এখানে, v = বস্তুটির রৈখিক বেগ,  $\omega$ = বস্তুটির কৌণিক বেগ এবং I = বস্তুটির আপন অক্ষের সাপেক্ষে জড়তার ভ্রামক।

চক্রগতির ব্যাসার্ধ (Radius of Gyration)

    সংজ্ঞা : কোনো দৃঢ় বস্তুর সমগ্র ভর যদি একটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে কেন্দ্রীভূত করা যায় যাতে করে একটি নির্দিষ্ট অক্ষের সাপেক্ষে ঐ কেন্দ্রীভূত বস্তুকণার জড়তার ভ্রামক, ঐ নির্দিষ্ট অক্ষের সাপেক্ষে সমগ্র দৃঢ় বস্তুর জড়তার ভ্রামকের সমান হয়, তাহলে ঐ নির্দিষ্ট অক্ষ থেকে কেন্দ্রীভূত বস্তুকণার লম্ব দূরত্বকে চক্রগতির ব্যাসার্ধ বলে।

     ব্যাখ্যা: ধরা যাক, একটি বস্তুর ভর M এবং কোনো অক্ষের সাপেক্ষে তার জড়তার ভ্রামক /। এখন কল্পনা করা যাক,ঐ বস্তুর ভর M সমগ্র বস্তুর মধ্যে বণ্টিত না থেকে একটি বিন্দুতে কেন্দ্রীভূত আছে। ঘূর্ণন অক্ষ থেকে ঐ কেন্দ্রীভূত বস্তুর লক্ষ দূরত্ব যতো হলে ঐ অক্ষের সাপেক্ষে পুঞ্জিভূত বস্তুর জড়তার ভ্রামক সমগ্র বস্তুর জড়তার ভ্রামক/এর সমান হবে, সেই দূরত্বকে চক্রগতির ব্যাসার্ধ K বলে।

:- I = Mk²

বা, $K=\sqrt{\frac{T}{M}}$...  (4.19)

    মাত্রা ও একক : চক্রগতির ব্যাসার্ধের মাত্রা ও একক যথাক্রমে দৈর্ঘ্যের মাত্রা ও এককের অনুরূপ। সুতরাং এর মাত্রা L এবং এসআই একক মিটার (m)।

     তাৎপর্য: কোনো অক্ষের সাপেক্ষে একটি বন্ধুর চক্রগতির ব্যাসার্ধ 0.5 m বলতে বোঝায় ঐ অক্ষ থেকে 0.5m দূরে একটি বিন্দুতে বন্ধুটির সমগ্র স্তর পুঞ্জীভূত আছে ধরে জড়তার ভ্রামক হিসাব করলেই সমগ্র বস্তুটির জড়তার ভ্রামক পাওয়া যাবে।

৪.১৪। জড়তার ভ্রামক সংক্রান্ত দুটি উপপাদ্য

Two Theorem Regarding Moment of Inertia

জড়তার ভ্রামক সংক্রান্ত দুটি উপপাদ্যের সাহায্যে কোনো বস্তুর কোনো একটি বিশেষ অক্ষের সাপেক্ষে জড়তার ভ্রামকেরা মান বের করা যায়। উপপাদা দুটি হলো— (ক) লম্ব অক্ষ উপপাদ্য এবং (খ) সমান্তরাল অক্ষ উপপাদ্য।

(ক) লম্ব অক্ষ উপপাদ্য (Perpendicular axis Theorem)

      বিবৃতি : কোনো সমতল পাতের তলে অবস্থিত দুটি পরস্পর লম্ব অক্ষের সাপেক্ষে ঐ পাতের জড়তার ভ্রামকদ্বয়ের সমষ্টি হবে ঐ দুই অঙ্কের ছেদবিন্দু দিয়ে এবং পাতের অভিলম্বভাবে গমনকারী অক্ষের সাপেক্ষে পাতটির জড়তার ভ্রামকের সমান।

      ব্যাখ্যা : কোনো সমতল পাতের তলে অবস্থিত দুটি পরস্পর লম্ব অক্ষ OX ও OY (চিত্র ৪.৯) এর সাপেক্ষে যদি জড়তার ভ্রামক, I_x ও I_y, হয় তবে তাদের সমষ্টি (l_x + l_y) হবে ঐ দুই অক্ষের ছেদবিন্দু দিয়ে এবং পাতের ভলের অভিলম্বভাবে গমনকারী অক্ষ OZ সাপেক্ষে পাতের জড়তা ভ্রামক l_z এর সমান। 

  অর্থাৎ l_z = l_x + l_y

      প্রমাণ: মনে করি, একটা পাতলা সমতল পাতের ওপর লম্বভাবে অবস্থিত OX এবং OY অক্ষদ্বয় O বিন্দুতে ছেদ করে। এ ছেদবিন্দু O দিয়ে অঙ্কিত OZ অক্ষটি সমতল পাতের ওপর লম্ব (চিত্র : ৪.৯)।  মনে করি, এই পাতের ওপর P বিন্দুতে অবস্থিত একটি কণার ভর m ।  OY, OX এবং OZ অক্ষ থেকে P বিন্দুর লম্ব দূরত্ব যথাক্রমে x,y,z

:- z² = x² +y²

       এখন ধরা যাক, পাতটি m₁,m₂,…m_1.. ইত্যাদি ভরের অসংখ্য কণার সমন্বয়ে গঠিত। OY অক্ষ থেকে এ কণাগুলোর লম্ব দূরত্ব যথাক্রমে x₁, x₂,... x_i...  OX অক্ষ থেকে এদের লক্ষ দূরত্ব যথাক্রমে y₁, y₂ ... y_i... এবং OZ- অক্ষ থেকে এদের দূরত্ব যথাক্রমে z₁,z₂…. z_i... ইত্যাদি। সুতরাং OZ- অক্ষের সাপেক্ষে পাতটির জড়তার ভ্রামক,

খ) সমান্তরাল অক্ষ উপপাদ্য (Parallel axis Theorem) 

    বিবৃতি : যেকোনো অক্ষের সাপেক্ষে কোনো বস্তুর জড়তার ভ্রামক হবে ঐ অক্ষের সমান্তরাল ও বস্তুর ভরকেন্দ্রের মধ্য দিয়ে গমনকারী অক্ষের সাপেক্ষে জড়তার ভ্রামক এবং ঐ বস্তুর ভর ও দুই অক্ষের মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্বের বর্গের গুণফলের সমষ্টির সমান।

       ব্যাখ্যা: মনে করা যাক, M ভরের কোনো বস্তুর ভরকেন্দ্র G এর মধ্য দিয়ে অতিক্রান্ত AB অক্ষের সাপেক্ষে জড়তার ভ্রামক ।_G তাহলে এই অক্ষ থেকে h দূরত্বে এবং এই অক্ষের সমান্তরাল কোনো অঙ্ক CD এর সাপেক্ষে ঐ বস্তুর জড়তার ভ্রামক হবে (চিত্র ৪.১০)

I = I_G + Mh²

        প্রমাণ: মনে করা যাক, M ভরের একটি বস্তুর ভরকেন্দ্র G এর মধ্য দিয়ে অতিক্রান্ত অক্ষ AB এবং এই অক্ষ থেকে দূরত্বে এবং এই অক্ষের সমান্তরাল অক্ষ CD ধরা যাক, P বিন্দুতে অবস্থিত। একটি কণার ভর m

     AB অক্ষ থেকে এই কণাটির লম্ব দূরত্ব x হলে CD অক্ষ থেকে এর লম্ব দূরত্ব হবে h+x । এখন ধরা যাক, বস্তুটি m₁,m₂.....m_i… ইত্যাদি ভরের অসংখ্য কণার সমন্বয়ে গঠিত। AB অক্ষ থেকে এই কণাগুলোর লম্ব দূরত্ব যথাক্রমে x₁,x₂…x_i.. ইত্যাদি হলে CD অক্ষ থেকে এদের লম্ব দূরত্ব হবে যথাক্রমে

   (x₁+h), (x₂+ h),... (x₁ + h) ইত্যাদি। 

এখন CD অক্ষের সাপেক্ষে বস্তুটির জড়তার ভ্রামক,